FUNGSI
Di dalam matematika diskrit, fungsi juga
menjadi peran penting di mata kuliah ini. Fungsi juga digunakan utk
mendefinisikan struktur-struktur diskrit seperti sequense dan
string, untuk mendiskripsikan lama waktu yang digunakan dan
untuk memecahkan persoalan dengan komputer, atau di dalam ilmu komputer
dikenal adanya fungsi rekursif, yaitu fungsi yang memanggil
dirinya sendiri. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep dasar
fungsi yang dibutuhkan dalam matematika diskrit.
Definisi Fungsi :
Definisi Fungsi :
1. Jika A dan B adalah himpunan, maka
fungsi f dari A ke B akan memetakan ke tepat satu elemen B
untuk setiap elemen A, ditulis f : A → B yang artinya f memetakan A ke
B, A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil
(codomain) dari f. Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan
atau transformasi.
2.
Jika
F adalah fungsi A ke B, maka A adalah domain dari f dan B adalah codomain dari
f. Jika f(a) = b maka b dikatakan sebagai image dari a dan a adalah
preimage dari b. Range f adalah himpunan semua image dari elemen A. jika F
adalah fungsi dari A ke B maka dikatakan bahwa F memetakan A ke B.
3. Jika f1 dan f2adalah fungsi dari A ke R maka
f1 + f2 dan f1f2 juga fungsi dari A ke R yang didefinisikan oleh
:
(f1 + f2)(x) = f1 (x) + f2(x),
(f1 f2)(x) = f1 (x) f2(x)
Contoh :
f1 dan f2 adalah fungsi dari R ke R
dimana f1 (x) = x.x dan f2 (x) = (x – x.x) maka
(f1 + f2) (x) = f1 (x) + f2 (x) = x.x + (x –
x.x) = x dan
f1 f2 (x) = f1 (x) f2 (x) = xx(x – xx) =
x3 – x4
Fungsi
Satu ke Satu (One to One) dan Onto
1. Fungsi Satu ke Satu
(One to One)
Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one)
atau injektif (injective) jika tidak ada dua elemen himpunan A
yang memiliki bayangan sama.
Contoh 1.1 :
f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2,
3} ke B = {u, v, w, x} adalah fungsi satu-ke-satu, f = {(1, u), (2,
u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi satu-ke-satu,
karena f(1) = f(2) = u.
Contoh 1.2 :
Misalkan f : Z ®Z. Tentukan apakah f(x) = x2 +
1 dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi satu-ke-satu?
jawab : f(x) = x2 + 1 bukan fungsi
satu-ke-satu, karena untuk dua x yang bernilai mutlak sama tetapi tandanya
berbeda nilai fungsinya sama, misalnya f(2) = f(-2) = 5 padahal –2 ¹
2. f(x) = x – 1 adalah fungsi satu-ke-satu karena untuk a ¹ b, a – 1
¹ b – 1. Misalnya untuk x = 2, f(2) = 1 dan untuk x = -2, f(-2) = -3.
2. Fungsi pada Onto
Fungsi f dikatakan dipetakan pada (onto) atau
surjektif (surjective) jika setiap elemen himpunan B
merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan
kata lain seluruh elemen B merupakan jelajah dari f. Fungsi f disebut
fungsi pada himpunan B.
Contoh 2.1 :
f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2,
3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi pada karena w tidak termasuk jelajah dari
f. f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,
w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B merupakan jelajah
dari f. Misalkan f : Z -> Z. Tentukan apakah f(x) = x2 + 1 dan f(x) = x
– 1 merupakan fungsi pada?
Jawab :
f(x) = x2 + 1 bukan fungsi pada, karena tidak
semua nilai bilangan bulat merupakan jelajah dari f. f(x) = x – 1
adalah fungsi pada karena untuk setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai
x yang memenuhi, yaitu y = x – 1 akan dipenuhi untuk x = y + 1.
Fungsi
berkoresponden satu-kesatu atau bijeksi (bijection)
Fungsi f dikatakan berkoresponden
satu-ke-satu atau bijeksi (bijection) jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga
fungsi pada onto.
Contoh :
Fungsi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A =
{1, 2, 3} ke B = {u, v,w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu,
karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.
Fungsi f(x) = x – 1 merupakan fungsi yang
berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun
fungsi pada onto
Fungsi Invers (Balikan)
Jika f adalah fungsi berkoresponden
satu-ke-satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan (invers) dari
f. Balikan fungsi dilambangkan dengan f –1. Misalkan a adalah anggota
himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f -1(b) = a jika f(a) =
b. Fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu sering dinamakan juga
fungsi yang invertible (dapat dibalikkan), karena kita
dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi dikatakan
not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi
yang berkoresponden satu-ke-satu, karena fungsi balikannya tidak ada.
Contoh :
f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible. Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.
Jawab:
Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1. Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1.
Jawab:
f(x) = x2 + 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-kesatu,
sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah funsgi
yang not invertible.
f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke satu. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)} Jadi, f adalah fungsi invertible. Tentukan balikan fungsi f(x) = x – 1.
Jawab:
Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, jadi balikan fungsi tersebut ada. Misalkan f(x) = y, sehingga y = x – 1, maka x = y + 1. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah f-1(y) = y +1. Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 1.
Jawab:
f(x) = x2 + 1 bukan fungsi yang berkoresponden satu-kesatu,
sehingga fungsi balikannya tidak ada. Jadi, f(x) = x2 + 1 adalah funsgi
yang not invertible.
Komposisi Dua Buah Fungsi
Misalkan f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan g adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi g dan f, dinotasikan dengan g o f, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh
(g o f)(a) = g(f(a))
Misalkan f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan g adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi g dan f, dinotasikan dengan g o f, adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh
(g o f)(a) = g(f(a))
Contoh :
1. Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi f = {(u, y), (v, x), (w,z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah
f o g = {(1, y), (2, y), (3, x) }
2. Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f o g dan g o f .
Jawab :
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2.
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2
1. Diberikan fungsi g = {(1, u), (2, u), (3, v)} yang memetakan A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w}, dan fungsi f = {(u, y), (v, x), (w,z)} yang memetakan B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. Fungsi komposisi dari A ke C adalah
f o g = {(1, y), (2, y), (3, x) }
2. Diberikan fungsi f(x) = x – 1 dan g(x) = x2 + 1. Tentukan f o g dan g o f .
Jawab :
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 1) = x2 + 1 – 1 = x2.
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x –1)2 + 1 = x2 - 2x + 2
1xbet korean casino review - Legalbet
BalasHapus1xbet korean casino 제왕카지노 review in November 2020. Online Casino 1xbet is a licensed, regulated & regulated operator. In the gambling worrione industry, 1xbet 1xbet is a